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解证几何问题时，往往需要在图中另外添加一些线，通常称为援助线.在图中一般画为虚线.常见的援助线主要为直线、线段、射线、圆或圆弧等.以下选题来自《初中数学竞赛中的平面几何》为什么要添加援助线呢？
解几何题是从题设要求启航，利用正确的逻辑推理，取得题断的着力.咱们遇到的几何题并非一说念要添线，有些则需要添线.为什么有的几何题一定要添线呢？咱们从以下两个具体的例题谈起。图片
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解法分析：最初把柄题意画出相应的图形：图片
要解说AE=AG，只需要解说∠G=∠3，问题的关节在于如何由AB=CD等题设来证得∠G=∠3。由于AB，CD的位置散播，它们与∠G和∠3的筹划不易径直不雅察到。因此，必须设法添加援助线使得相对散播的景色变得相对连络，使它们之间的筹划由荫藏变为彰着。为此，需要构造与∠G和∠3绝顶的等角。相连BD后，取BD的中点O，相连OE、OF。通过构造中位线，将AB=CD升沉到了OE=OF，这么将∠G升沉到了∠1，∠3升沉到了∠2，使所有这个词联系联的元素皆连络到了△OEF中。因此，只需要解说∠1=∠2，就不错惩处问题。
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解法分析：由已知中AB=AC=AD=a，可知B、C、D在以A为圆心，a为半径的圆上，因此需要作念出这个“隐圆”。这么就灵通了念念路，使得隐含在题中的关系得以浮现。图片
因此，蔓延BA交圆A于点E，相连DE。易证∠EDB=90°，由CD//AB，可得DE=BC=b，因此借助勾股定理不错猜想BD的长度：图片
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通过上述两个例子不错标明，解证几何问题，便是由已知启航，用逻辑推理搭建已知和未知的桥梁。因此，关于具体问题具体分析，当要求和论断之间莫得明确的指向性时，咱们需要梦想添加援助线，创造升沉的要求，从而将已知和未知中的联系元素有机地串联起来，从而有用地惩处问题。添加援助线有以下三个作用：① 使复杂的问题升沉为咱们所老到或早已掌抓、惩处的问题，比如在“解说中位线定理”时，咱们不错添加援助线，将问题升沉“借助三角形中位线定理进行解说”；② 使图中隐含的关系暴暴露来(例2)；③ 使不径直筹划的元素发生筹划。
关于援助线的添加不是所心所欲的，当遇到某些要求不可径直与论断发生筹划时，经典三级为发掘、创设这些要求筹划的阶梯而射线和决定在图中添加什么援助线，若何添加援助线。这才是正确相识添加援助线的方式和精髓。添线的原则
原则一 化繁为简
添加援助线有助于：① 把复杂的图形化为简单的图形；② 把复杂的图形分割成多少个简单的问题；③ 把不限定的图形升沉为限定的图形。不管添线若何复杂，仔细分析，皆是为了把某方面的“繁”化为“简”，从而以“简”来阁下“繁”。
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解法分析：由于∠BCA=20°，∠EDC=80°，是以CE=CD。径直猜想两个三角形的面积很鬈曲，要遇到求迥殊角的锐角三角比。但刺眼到∠ABC=60°这个要求，把△ABC归附为一个边长为1得正三角形。为此，蔓延BA到G，使BG=BC=1，如下图所示，相连CF，则易知△ABC≌△FGC，且AC=CF，∠ACF=20°。
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于是△ACF∽△ECD，又CA=2CE，是以：图片
此题添线后从标明看使图形变得复杂了，但内容上则使用不限定图形升沉为限定的正三角形，达到化繁为简的指标。同期也使咱们捕捉到了解答本题的阶梯。原则二 相对连络
添设援助线通常将已知和未知中的联系元素连络在并吞个三角形中或连络到两个联系(全等、双方对应绝顶、一样)的三角形中。只消元素相对连络，才便于筹划与比拟，从能充分应用联系的几何定理。图片
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解法分析：要证BD+CE>DE。需要设法把三条线段连络到并吞个三角形中，为此，由M是BC的中点，DM⊥EM，使咱们梦猜测不妨用轴对称“翻折”的方式。如图所示，在DM的蔓延线上取D'，使MD'=MD。相连ED'，CD'，易证ED'=DE，CD'=BD(△BDM≌△CD'M)。最终把BD，DE，CE三条线段升沉为CD'，ED'，CE，连络到△CED'中，从而利用“双方之和大于第三边”得证。图片
添线的技巧
添加援助线，从举座上看，不错相识为把图形的一部分变换到另外的位置，以此来扫尾要求和论断的筹划。这些变换许多，常用的是平移和旋转，它不更动线段的长度与角的大小。方式一 平移通常通过迥殊点添平行线，或利用三角形中位线性质构造平行线，使图中的某些线段保持平行，或使某些角平移到新的位置。
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解法分析：本题同例1的解题计谋如出一辙。即通过线段的平移将∠1和∠2抛弃在一个三角形中。
如左图，通过“四次”平移，构造平行线四边形ABMF和平行四边形DFNC，继而构造全等△BME和△ENC，从而解说E为MN的中点，利用等腰三角形的三线合一解说∠3=∠4。利用MF//AB，CD//FN，得∠1=∠3，∠2=∠4，继而得证。
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如右图，借助三角形的中位线定理，通过相连BD，构造AB和CD的一半，得等腰△GEF，从而得证。方式二 旋转
在具有等边和迥殊角的图形中，将图形一部分绕定点旋转一迥殊角，往往使散播的要求相对连络，夸耀出多少新的筹划。图片
解法分析：本题中要解说∠AMB=∠DMC，由于∠AMB和∠2互余，而∠1=∠2，同期AB=AC，因此梦想构造与△ABM全等的△ACN，相称于将△ABM平移加旋转得△ACN。再解说△DMC和△DCN全等即可得证。
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换取的惩处旅途在2023上海长宁二模25题第(3)问中也有体现：图片
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解法分析：本题中要解说A、P、C三点共线，不错通过解说∠APB+∠BPC=180°进行解说。由于AP、BP、CP三条线段的位置比拟散播，因此不错通过旋转△ABP(绕点B顺时针旋转90°)至△BCP'，借助勾股定理逆定理得∠PCP'=90°，从而把柄∠PCP'+∠PBP'=90°，得P、B、P'、C四点共圆，继而得∠BPC与∠BP'C互补，而∠BP'C=∠APB，继而得证。
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常见一样模子中的“手拉手模子”以及“半角模子”便是利用旋转取得一样三角形或全等三角形扫尾线段的升沉。
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——The End——
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